题目描述

译自 CCO 2020 Day1 T3「Mountains and Valleys」，翻译者：PinkRabbit。

给定一张 $N$ 个点 $M$ 条边的无向图，节点的标号为 $0 \sim (N - 1)$，其中边有正整数边权。

特别地，有恰好 $N - 1$ 条边的边权为 $1$，且仅考虑这些边时，图形成了一棵树。而对于其它边，它们的边权至少为 $\displaystyle \left\lceil \frac{N}{3} \right\rceil$。

请你找出一条路径，可以从任意节点出发，并最终在任意节点停下，但需要经过每一个节点至少一次，且最小化总边权。注意，如果你经过一条边权为 $d$ 的边 $k$ 次，那么这条边会为总边权贡献 $k \cdot d$。

输入格式

第一行两个正整数 $N, M$。
接下来 $M$ 行，每行三个正整数 $x_i, y_i, w_i$，表示一条连接着节点 $x_i$ 和 $y_i$ 的边权为 $w_i$ 的边。

输出格式

输出一行一个数表示最小的总边权。

9 10
0 1 1
0 2 1
0 3 1
1 4 1
2 5 1
2 6 1
3 7 1
3 8 1
2 4 5
6 7 3

11

最优方案之一为路径 $4 \to 1 \to 0 \to 2 \to 5 \to 2 \to 6 \to 7 \to 3 \to 8$，总边权为 $1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 3 + 1 + 1 = 11$。不存在总边权更小的能够经过每个点至少一次的路径。

数据范围与提示

对于所有数据，保证 $4 \le N \le 5 \times {10}^5$，$N - 1 \le M \le 2 \times {10}^6$，$0 \le x_i, y_i < N$，$w_i = 1$ 或 $\displaystyle \left\lceil \frac{N}{3} \right\rceil \le w_i \le N$，无重边或自环。